【問題】座標空間に\(4\)点\(\rm{O}(0, 0, 0)\),\(\rm{A}(1, 1, 1)\),\(\rm{B}(2, 2, 1)\),\(\rm{C}(1, 3, -3)\)がある。以下の問いに答えよ。
(1) 三角形\(\rm{ABC}\)の面積を求めよ。
(2) 原点\(\rm{O}\)から\(3\)点\(\rm{A, B, C}\)を通る。平面に下ろした垂線\(\rm{OD}\)とする。点\(\rm{D}\)の座標を求めよ。
(3) (2)で求めた点\(\rm{D}\)について，線分\(\rm{OD}\)の長さを求めよ。
(4) 四面体\(\rm{OABC}\)の体積を求めよ。
【分析】数学B：空間ベクトル
問題の内容は、非常にオーソドックスなものであり、誘導も丁寧であるからしっかり解きたい。(2)が乗り切れれば問題なく完答できるであろう。(2)の解法は、今回提示したもの以外にもある。今回は、\(\overrightarrow{\rm{AD}}=s\overrightarrow{\rm{AB}}+t\overrightarrow{\rm{AC}}\)と設定したが、
・\(\overrightarrow{\rm{OD}}=\alpha\overrightarrow{\rm{OA}}+\beta\overrightarrow{\rm{OB}}+\gamma\overrightarrow{\rm{OC}}, \alpha+\beta+\gamma=1\)と設定して求める
・平面\(\rm{ABC}\)の方程式を求め、直線\(\rm{OD}\)との交点として求める
などがある。計算量を考えると平面\(\rm{ABC}\)の方程式を求めるのがおススメ。
【解答および解説】
(1) \(\overrightarrow{\rm{AB}}=(1, 1, 0)\), \(\overrightarrow{\rm{AC}}=(0, 2, -4)\)であるから，三角形\(\rm{ABC}\)の面積を\(S\)とすれば
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{ |\overrightarrow{\rm{AB}}|^2|\overrightarrow{\rm{AC}}|^2-(\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot\overrightarrow{\rm{AC}})^2}\)
\(|\overrightarrow{\rm{AB}}|^2=2\), \(|\overrightarrow{\rm{AC}}|^2=20\), \(\overrightarrow{\rm{AB}}\cdot\overrightarrow{\rm{AC}}=2\)であるから，
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{2\times20-2^2}=\boldsymbol 3\)
(2) \(\rm{D}\)は，平面\(\rm{ABC}\)上であるから，\(s, t\)を実数として
\(\overrightarrow{\rm{AD}}=s\overrightarrow{\rm{AB}}+t\overrightarrow{\rm{AC}}\)
と書けて，成分化すると
\(\overrightarrow{\rm{AD}}=s(1, 1, 0)+t(0, 2, -4)=(s, s+2t, -4t)\)
∴\(\overrightarrow{\rm{OD}}=(s+1, s+2t+1, -4t+1)\)･･････※
ここで，\(\overrightarrow{\rm{OD}}\perp\)平面\(\rm{ABC}\)であるから
\(\overrightarrow{\rm{OD}}\perp\overrightarrow{\rm{AB}}\) かつ\(\overrightarrow{\rm{OD}}\perp\overrightarrow{\rm{AC}}\)
である。したがって，
\(\overrightarrow{\rm{OD}}\cdot \overrightarrow{\rm{AB}}=0\)･･････①
\(\overrightarrow{\rm{OD}}\cdot \overrightarrow{\rm{AC}}=0\)･･････②
①より，
\((s+1)\times 1+(s+2t+1)\times 1+(-4t+1)\times 0=0\)
∴\(s+t+1=0\)･･････①’
②より，
\((s+1)\times 0+(s+2t+1)\times 2+(-4t+1)\times (-4)=0\)
∴\(s+10t-1=0\)･･････②’
①’，②’より \(s=-\dfrac{11}{9}, t=\dfrac{2}{9}\)
これらを※に代入して
\(\boldsymbol {\rm{D}\left(-\dfrac{2}{9}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{9}\right)}\)
(3) (2)より
\(\rm{OD}=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(\dfrac{1}{9}\right)^2}=\boldsymbol {\dfrac{1}{3}}\)
(4) (1)，(3)より，求める体積を\(V\)とすると
\(V=\dfrac{1}{3}\times S\times \rm{OD}=\boldsymbol {\dfrac{1}{3}}\)
