2022鳥取大学・前期試験・数学 第8問

過去問

【問題】
直線\(y=x\)と曲線\(y=x|x-1|\)によって囲まれる図形の面積を求めよ。

【分析】数学Ⅱ:面積
教科書応用レベルの問題。ただし、工夫して考えないと計算が大変になることに注意。
文系数学の微積ではこのタイプは頻出なので、答えを出せるだけでなく、できる限り無駄のない解法を目指しましょう。

【解答および解説】
\(x|x-1|=f(x)\)とし,\(y=f(x)\)のグラフを\(C\), \(y=x\)のグラフを\(l\)とする。
\(C\)と\(l\)の交点の\(x\)座標は,
\(x|x-1|=x\)
\(x(|x-1|-1)=0\)
∴\(x=0\)または\(|x-1|=1\)
∴ \(x=0, 2\)
\(C, l\)とで囲まれる図形は図の斜線部

ここで,求める面積を\(S\)とすると,
\(S=\int_{0}^{2}(x-f(x))dx-2\int_{0}^{1}-x(x-1)dx\)

\(=-\int_{0}^{2}x(x-2)dx+2\int_{0}^{1}x(x-1)dx\)

\(=\dfrac{1}{6}(2-0)^3-\dfrac{2}{6}(1-0)^3=1\)

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