2022鳥取大学・前期試験・数学 第3問

過去問

【問題】\(xy\)平面上の曲線
 \(C:x=f(t), y=g(t) \left( 0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)\)
を考える。ただし,\(f(t), g(t)\)は
\(\begin{cases}f\left(t\right)=2\sin t+\cos 2t-1\\g\left(t\right)=1-\cos 2t\end{cases}\)
とする。以下の問いに答えよ。
(1) \(f(t)\)の最大値を求めよ。
(2) 曲線\(C\)上の点\((x,y)\)において,\(y=1\)のときの接線の方程式を求めよ。
(3) 曲線\(C\)と\(y\)軸で囲まれる領域の面積\(S\)を求めよ。

【分析】数学Ⅲ:媒介変数表示の関数の面積
媒介変数表示の関数において,接線・面積を求めることを問う。接線の傾きおよび接点の座標は,媒介変数\(t\)によって定まるため,条件に合う\(t\)をきちんと求めよう。また,面積を求めるにあたり,簡単な図は掛けるようにしておきたい。その際に,\(x, y\)が\(t\)によってどのように変わっていくのか?を確認しよう。今回は増減表を書くほどの複雑な関数ではないので,与えらえた式にどんな特徴があるのかを見定めたい。

【解説および解答】
\(\begin{cases}f\left(t\right)=2\sin t+\cos 2t-1\\g\left(t\right)=1-\cos 2t\end{cases}\)

(1)
\(f\left(t\right)=2\sin t+\cos 2t-1\)
\(=-2\sin^2 t+2\sin t\)
\(=-2\left(\sin t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)
ここで,\( 0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}\)より,\(-1\leqq \sin t\leqq 1\)だから
\(\sin t=\dfrac{1}{2}\)のとき,つまり\(t=\dfrac{\pi}{6}\)のとき,最大値\(\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\)

(2) \(y=1\)より,\(1-\cos 2t=1\)として,
\(/cos2t=0\) ∴\(t=\dfrac{\pi}{4}\)
これより,接点\(\left(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right), g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=(\sqrt{2}-1, 1)\)
また,
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{2\sin 2t}{2\cos t-2\sin 2t}\)
であるから,\(t=\dfrac{\pi}{4}\)における接線の傾きは
\(\dfrac{2\sin 2\cdot\dfrac{\pi}{4}}{2\cos \dfrac{\pi}{4}-2\sin 2\cdot\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}-2}=-2-\sqrt{2}\)
したがって,求める接線の方程式は
\(y=(-2-\sqrt{2}){x-\sqrt{2}-1}+1\)
∴\(\boldsymbol{y=(-2-\sqrt{2})x+\sqrt{2}+1}\)

(3) \(0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}\)において,
\(f(t)=2\sin t(1-\sin t)\geqq{0}\)
\(g(t)=1-\cos 2t\geqq{0}\)
であり,\(g(t)\)は単調に増加するから,\(S\)は図の斜線部の面積となる。

\(S=\int_{0}^{2}x dy\)
ここで,\(\dfrac{dy}{dt}=2\sin 2t\) であり,
\(y:0\longrightarrow 2\) に対し,\(t:0\longrightarrow \dfrac{\pi}{2}\)
であるから,
\(S=\int_{\small 0}^{\small {\frac{\pi}{2}}}(-2\sin^2 t+2\sin t)\cdot{2\sin 2t} dt\)
\(=\int_{\small 0}^{\small {\frac{\pi}{2}}}(-8\sin^3 t\cdot{\cos t}+8\sin t\cdot{\cos t} )dt\)
\(=\int_{\small 0}^{\small {\frac{\pi}{2}}}(-8\sin^3 t\cdot{(\sin t)’}+8\sin t\cdot{(\sin t)’} )dt\)
\(=\left[-2\sin^4 t+\dfrac{8}{3}\sin^3 t\right]_{0}^{\small\mbox{$\frac{\pi}{2}$}}=-2+\dfrac{8}{3}=\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}\)


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