【問題】各項が正の整数である数列\(a_{n}\)が，条件
\(a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots<a_{n}<a_{n+1}<\cdots\)
を満たすとき，次の問いに答えよ。
(1) すべての正整数\(n\)に対し，\(a_{n}\geqq n\)が成り立つことを示せ。
(2) \(\sum\limits_{n=1}^\infty\left( \dfrac{1}{a_{n}}\right)^{2}<2\)であることを示せ。
【分析】数学Ⅲ：数列の極限
やや方針が立てづらい設問である。(1)は，正整数\(n\)に対し～とあることから、数学的帰納法を利用して示す。(2)に関しては、分母が\(n\)の２次式である数列の和を、\(n>n-1\)であることから、部分部数分解型の和に帰着できるかがポイント。単なる計算でのごり押しでは解けないので、普段から思考力を鍛えられるようなややハイレベルの問題にも触れておきたい。
【解答および解説】
(1) すべての正整数\(n\)に対し，\(a_{n}\geqq n\)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す。
(ⅰ) \(n=1\)のとき，数列\(a_{n}\)の各項は正の整数であるから，
\(\hspace{30mm}a_{1}\geqq1\)
となる。したがって，\(n=1\)のときは成立
(ⅱ) \(n=k\)のとき，成り立つと仮定する
\(\hspace{30mm}a_{n}\geqq n\)･･････※
これを用いて，\(n=k+1\)のときにも成り立つことを示す。
題意より，\(a_{n+1}> a_{n}\)であるから，※より
\(\hspace{30mm}a_{n+1}>n\)
\(a_{n+1}\)は正の整数より，\(a_{n+1}\geqq n+1\)
したがって，\(n=k+1\)のときも成立
よって，すべての正整数\(n\)に対し，\(a_{n}\geqq n\)が成り立つ
(2) (1)より，\(\dfrac{1}{a_{n}}\leqq\dfrac{1}{n}\)
\(\hspace{30mm}\left(\dfrac{1}{a_{n}}\right)^2\leqq\dfrac{1}{n^2}\)
\(n-1<n\)であるから，
\(\dfrac{1}{n^2}<\dfrac{1}{n(n-1)}\) \(\hspace{20mm}\therefore\left(\dfrac{1}{a_{n}}\right)^2<\dfrac{1}{n(n-1)}\)
これより，\(n\geqq 3\)において
\(\sum\limits_{k=1}^{n}\left( \dfrac{1}{a_{k}}\right)^{2}=\dfrac{1}{a_{1}}^2+\dfrac{1}{a_{2}}^2+\sum\limits_{k=3}^{n} \left( \dfrac{1}{a_{k}}\right)^{2}\)
ここで，
\(\sum\limits_{k=3}^{n} \left( \dfrac{1}{a_{k}}\right)^{2}=\sum\limits_{k=3}^{n} \dfrac{1}{k(k-1)}\)
\(\hspace{28mm}=\sum\limits_{k=3}^{n} \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)\)
\(\hspace{28mm}= \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+ \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+ \left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\right)+\cdots\)
\(\hspace{5cm}\cdots+ \left(\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n-1}\right)+ \left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)\)
\(\hspace{28mm}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}\)
したがって，
\(\sum\limits_{k=1}^{n}\left( \dfrac{1}{a_{k}}\right)^{2}<\dfrac{1}{a_{1}}^2+\dfrac{1}{a_{2}}^2+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}\)
\(\hspace{30mm}\therefore\sum\limits_{k=1}^{n}\left( \dfrac{1}{a_{k}}\right)^{2}<\dfrac{7}{4}-\dfrac{1}{n}\)
両辺 \(n\longrightarrow\infty\)として
\(\hspace{30mm}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \dfrac{1}{a_{n}}\right)^{2}\leqq\dfrac{7}{4}\)
よって，
\(\hspace{30mm}\sum\limits_{n=1}^\infty\left( \dfrac{1}{a_{n}}\right)^{2}<2\)
である。
