【問題】正四面体\(\rm{ABCD}\)において，辺\(\rm{AB}\)の中点を\(\rm{E}\)，辺\(\rm{AC}\)を\(3 : 1 \)に内分する点を\(\rm{F}\)，辺\(\rm{AD}\)を\(1 : 3\)に内分する点を\(\rm{G}\)とする。以下の問いに答えよ。
(1) 三角形\(\rm{AEF}\)の面積と三角形\(\rm{AFG}\)の面積の比を求めよ。
(2) 三角形\(\rm{AEF}\)の面積と三角形\(\rm{EFG}\)の面積の比を求めよ。
【分析】数学Ⅰ：図形と計量
(1)は，辺の比から面積比を考える問題。正四面体であるから、どの面も合同な正三角形であるから、その正三角形と聞かれている三角形との面積比を考えて解く。(2)も、正三角形との面積比を考えるが、辺を共有していないので少々面倒ではあるが、正四面体の1辺の長さを設定して正三角形との面積の比較に持ち込む。
今回は、1辺の長さを\(l\)としているが、比を求めるだけなので1辺の長さは何でもよい。中点、\(3 : 1 \)に内分、\(1 : 3\)に内分とあるので、\(l=4\)とするとどの辺の長さも整数で表せるので計算が楽になる。ぜひ試してみてほしい。
【解答および解説】
(1) 各面は合同な正三角形より，1面の面積を\(S\)とすると
\(\triangle\rm{AEF}=\dfrac{1\times3}{2\times4}S=\dfrac{3}{8}S\)
\(\triangle\rm{AFG}=\dfrac{3\times1}{4\times4}S=\dfrac{3}{16}S\)
よって，三角形\(\rm{AEF}\)の面積と三角形\(\rm{AFG}\)の面積の比は，\(\boldsymbol{2 : 1}\)
(2)正四面体\(\rm{ABCD}\)の一辺の長さを\(l\)\((l>0)\)とする。
\(\triangle\rm{AEF}, \triangle\rm{AFG}, \triangle\rm{AGE}\)それぞれにおいて，余弦定理を用いると
\(\rm{EF}^2=\left(\dfrac{1}{2}\textit{l}\right)^2+\left(\dfrac{3}{4}\textit{l}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{2}\textit{l}\right)\cdot\left(\dfrac{3}{4}\textit{l}\right)\cdot\cos 60^{\circ}=\dfrac{7}{16}\textit{l}^2\)
\(\therefore\rm{EF}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\textit{l}\)
同様に，
\(\rm{FG}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}\textit{l}\), \(\rm{EG}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\textit{l}\)
三角形\(\rm{EFG}\)は，\(\rm{EF}=\rm{FG}\)の二等辺三角形であるから，\(\rm{F}\)から，\(\rm{EG}\)におろした垂線の足を\(\rm{H}\)とすれば，\(\rm{H}\)は\(\rm{EG}\)の中点である。したがって，三平方の定理から
\(\rm{FH}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\textit{l}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{8}\textit{l}\right)^2}=\dfrac{5}{8}\textit{l}\)
したがって，
\(\triangle\rm{EFG}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times\dfrac{5}{8}\textit{l}=\dfrac{5\sqrt{3}}{64}\textit{l}\)
ここで，\(S=\dfrac{1}{2}\cdot l^2\cdot\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}l^2\)\(\hspace{25mm}\therefore\triangle\rm{EFG}=\dfrac{5}{16}S\)
よって，三角形\(\rm{AEF}\)の面積と三角形\(\rm{EFG}\)の面積の比は
\(\hspace{25mm}\dfrac{3}{8}S : \dfrac{5}{16}S=\boldsymbol{6 : 5}\)
