【問題】
直線\(y=x\)と曲線\(y=x|x-1|\)によって囲まれる図形の面積を求めよ。
【分析】数学Ⅱ：面積
教科書応用レベルの問題。ただし、工夫して考えないと計算が大変になることに注意。
文系数学の微積ではこのタイプは頻出なので、答えを出せるだけでなく、できる限り無駄のない解法を目指しましょう。
【解答および解説】
\(x|x-1|=f(x)\)とし，\(y=f(x)\)のグラフを\(C\), \(y=x\)のグラフを\(l\)とする。
\(C\)と\(l\)の交点の\(x\)座標は，
\(x|x-1|=x\)
\(x(|x-1|-1)=0\)
∴\(x=0\)または\(|x-1|=1\)
∴ \(x=0, 2\)
\(C, l\)とで囲まれる図形は図の斜線部
ここで，求める面積を\(S\)とすると，
\(S=\int_{0}^{2}(x-f(x))dx-2\int_{0}^{1}-x(x-1)dx\)
\(=-\int_{0}^{2}x(x-2)dx+2\int_{0}^{1}x(x-1)dx\)
\(=\dfrac{1}{6}(2-0)^3-\dfrac{2}{6}(1-0)^3=1\)
