【問題】\(n\)は自然数とする。\(a_{1}=1,b_{1}=3,a_{n+1}=5a_{n}+b_{n},b_{n+1}=a_{n}+5b_{n}\)によって定められている数列\({a_{n}},{b_{n}}\)がある。以下の問いに答えよ。
(1) \(a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}\)を求めよ。
(2) \(a_{n}+b_{n},a_{n}-b_{n}\)の一般項をそれぞれ求めよ。
(3) \(a_{n},b_{n}\)の一般項をそれぞれ求めよ。
【分析】数学B：数列
連立漸化式問題であり、誘導は非常に丁寧であるから手早く確実に解きたい。ちなみに、(1)(2)の設問が用意されていなくても、(3)の一般項は出せるようにしておこう。
【解答】
\(a_{1}=1,b_{1}=3\)
\(a_{n+1}=5a_{n}+b_{n}\)･･････①
\(b_{n+1}=a_{n}+5b_{n}\)･･････②
(1) ①，②において\(n=1\)として
\(a_{2}=5a_{1}+b_{1}=8\), \(b_{2}=a_{1}+5b_{1}=16\)
さらに，①，②において\(n=2\)とすれば
\(a_{3}=5a_{2}+b_{2}=\mathbf{56}\), \(b_{3}=a_{2}+5b_{2}=\mathbf{88}\)
(2) ①＋②とすると
\(a_{n+1}+b_{n+1}=6(a_{n}+b_{n})\)
∴ \(a_{n}+b_{n}=(a_{1}+b_{1})\times6^{n-1}\)
∴ \(a_{n}+b_{n}=\mathbf{4\cdot 6^{n-1}}\) ･･････③
また，①－②とすると
\(a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_{n}-b_{n})\)
∴ \(a_{n}-b_{n}=(a_{1}-b_{1})\times4^{n-1}\)
∴ \(a_{n}-b_{n}=\mathbf{-2\cdot 4^{n-1}}\) ･･････④
(3) ③＋④とすると
\(2a_{n}=4\cdot 6^{n-1}-2\cdot 4^{n-1}\)
∴\(a_{n}=\mathbf{2\cdot 6^{n-1}-4^{n-1}}\)
③－④とすると
\(2b_{n}=4\cdot 6^{n-1}+2\cdot 4^{n-1}\)
∴\(b_{n}=\mathbf{2\cdot 6^{n-1}+4^{n-1}}\)
