2022鳥取大学・前期試験・数学 第9問

過去問

【問題】
正しく作られたさいころがある。さいころをふって\(6\)の目が出たらもう\(1\)回ふることとする。以下の問いに答えよ。
(1) さいころちょうど\(2\)回ふる確率を求めよ。
(2) さいころちょうど\(k\)回ふる確率を求めよ。ただし,\(k\)は自然数とする。
(3) さいころをふる回数が\(n\)以下となる確率を求めよ。ただし,\(n\)は自然数とする。

【分析】数学A・B:確率・数列
「正しく作られた~」という文言に驚くかもしれないが、これはどの目も偏りなく出る(同様に確からしい)という意味で書かれているだけである。聞かれている事象については、基本的であるのできちんと調べて必要に応じて図を描くなどして確実に解きたい。

【解答および解説】
\(1\)回ふるときに 
\(6\)の目が出る確率 \(\dfrac{1}{6}\)
\(6\)の目以外が出る確率 \(\dfrac{5}{6}\)

(1) \(1\)回目に\(6\)の目,\(2\)回目ligthに\(6\)の目以外がが出るときより
\(\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{6}=\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}\)

(2) \(1\)回目から\(k-1\)回目まではすべて\(6\)の目,\(k\)回目は\(6\)以外の目が出るときより
\(\left(\dfrac{1}{6}\right)^{k-1}\times\dfrac{5}{6}=\boldsymbol{\dfrac{5}{6^{k}}}\)

(3)(2)を用いると,
\(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{5}{6^{k}}\)\(=\begin{aligned}\dfrac{\dfrac{5}{6}\left\{ 1-\left( \dfrac{1}{6}\right) ^{n}\right\} }{1-\dfrac{1}{6}}\\ \end{aligned}\)
\(=\boldsymbol{1-\dfrac{1}{6^n}}\)

〔別解〕
求める確率は,\(n\)回目までに終了しないの余事象である。
\(1\)回目から\(n\)回目まですべて\(6\)の目が余事象の確率より
\(1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n}\)\(=1-\dfrac{1}{6^n}\)

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