2022鳥取大学・前期試験・数学第7問 - オンライン理系専門塾プロパス

【問題】座標空間に $4$ 点 $O (0, 0, 0)$ , $A (1, 1, 1)$ , $B (2, 2, 1)$ , $C (1, 3, - 3)$ がある。以下の問いに答えよ。
(1)　三角形 $A B C$ の面積を求めよ。
(2)　原点 $O$ から $3$ 点 $A, B, C$ を通る。平面に下ろした垂線 $O D$ とする。点 $D$ の座標を求めよ。
(3)　(2)で求めた点 $D$ について，線分 $O D$ の長さを求めよ。
(4)　四面体 $O A B C$ の体積を求めよ。

【分析】数学B：空間ベクトル
問題の内容は、非常にオーソドックスなものであり、誘導も丁寧であるからしっかり解きたい。(2)が乗り切れれば問題なく完答できるであろう。(2)の解法は、今回提示したもの以外にもある。今回は、 $\vec{A D} = s \vec{A B} + t \vec{A C}$ と設定したが、
・ $\vec{O D} = α \vec{O A} + β \vec{O B} + γ \vec{O C}, α + β + γ = 1$ と設定して求める
・平面 $A B C$ の方程式を求め、直線 $O D$ との交点として求める
などがある。計算量を考えると平面 $A B C$ の方程式を求めるのがおススメ。

【解答および解説】
(1)　 $\vec{A B} = (1, 1, 0)$ , $\vec{A C} = (0, 2, - 4)$ であるから，三角形 $A B C$ の面積を $S$ とすれば
$S = \frac{1}{2} \sqrt{| \vec{A B} |^{2} | \vec{A C} |^{2} - (\vec{A B} \cdot \vec{A C})^{2}}$
$| \vec{A B} |^{2} = 2$ , $| \vec{A C} |^{2} = 20$ , $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ であるから，
$S = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 20 - 2^{2}} = 3$

(2) $D$ は，平面 $A B C$ 上であるから， $s, t$ を実数として
$\vec{A D} = s \vec{A B} + t \vec{A C}$
と書けて，成分化すると
$\vec{A D} = s (1, 1, 0) + t (0, 2, - 4) = (s, s + 2 t, - 4 t)$
∴ $\vec{O D} = (s + 1, s + 2 t + 1, - 4 t + 1)$ ･･････※
ここで， $\vec{O D} ⊥$ 平面 $A B C$ であるから
$\vec{O D} ⊥ \vec{A B}$ かつ $\vec{O D} ⊥ \vec{A C}$
である。したがって，
$\vec{O D} \cdot \vec{A B} = 0$ ･･････①
$\vec{O D} \cdot \vec{A C} = 0$ ･･････②
①より，
$(s + 1) \times 1 + (s + 2 t + 1) \times 1 + (- 4 t + 1) \times 0 = 0$
　　∴ $s + t + 1 = 0$ ･･････①’
②より，
$(s + 1) \times 0 + (s + 2 t + 1) \times 2 + (- 4 t + 1) \times (- 4) = 0$
　　∴ $s + 10 t - 1 = 0$ ･･････②’
①’，②’より　　 $s = - \frac{11}{9}, t = \frac{2}{9}$
これらを※に代入して
$D (- \frac{2}{9}, \frac{2}{9}, \frac{1}{9})$

(3) (2)より
$O D = \sqrt{{(- \frac{2}{9})}^{2} + {(\frac{2}{9})}^{2} + {(\frac{1}{9})}^{2}} = \frac{1}{3}$

(4) (1)，(3)より，求める体積を $V$ とすると
$V = \frac{1}{3} \times S \times O D = \frac{1}{3}$